História da matemática desde o
século IX a.C
“LISA - BIBLIOTECA
DA MATEMÁTICA MODERNA:
ANTÔNIO MARMO DE OLIVEIRA.”
ANTÔNIO MARMO DE OLIVEIRA.”
Por volta dos séculos IX e VIII a.C a
matemática engatinhava na Babilônia. Os babilônios e os egípcios já tinham uma
álgebra e uma geometria, mas somente o que bastasse para as suas necessidades
práticas, e não de uma ciência organizada. Na Babilônia, a matemática era
cultivada entre os escrivas responsáveis pelos tesouros reais. Apesar de todo
material algébrico que tinham os babilônios e egípcios, só podemos encarar a
matemática como ciência, no sentido moderno da palavra, a partir dos séculos VI
e V a.C. na Grécia.
A matemática grega se distingue da
babilônica e egípcia pela maneira de encará-la. Os gregos fizeram-na uma
ciência propriamente dita sem a preocupação de suas aplicações práticas.
Do ponto de vista de estrutura, a
matemática grega se distingue da anterior, por ter levado em conta problemas
relacionados com processos infinitos, movimento e continuidade. As diversas
tentativas dos gregos de resolverem tais problemas fizeram com que aparecesse o
método axiomático-dedutivo. Este método consiste em admitir como verdadeiras
certas preposições (mais ou menos evidentes) e a partir delas, por meio de um
encadeamento lógico, chegar a proposições mais gerais. As dificuldades com que
os gregos depararam ao estudar os problemas relativos a processos infinitos
(sobretudo problemas sobre números irracionais) talvez sejam as causas que os
desviaram da álgebra, encaminhando-os em direção à geometria. Realmente, é na
geometria que os gregos se destacam, culminando com a obra de Euclides,
intitulada "Os Elementos". Sucedendo Euclides, encontramos os
trabalhos de Arquimedes e de Apolônio de Perga.
Arquimedes desenvolve a geometria,
introduzindo um novo método, denominado "método de exaustão", que
seria um verdadeiro germe do qual mais tarde iria brotar um importante ramo de
matemática (teoria dos limites). Apolônio de Perga, contemporâneo de
Arquimedes, dá início aos estudos das denominadas curvas cônicas: a elipse, a
parábola, e a hipérbole, que desempenham, na matemática atual, papel muito
importante. No tempo de Apolônio e Arquimedes, a Grécia já deixara de ser o
centro cultural do mundo. Este, por meio das conquistas de Alexandre, tinha-se
transferido para a cidade de Alexandria. Depois de Apolônio e Arquimedes, a
matemática grega entra no seu ocaso.
Dia dez de dezembro de 641, cai a
cidade de Alexandria sob a verde bandeira de Alá. Os exércitos árabes, então
empenhados na chamada Guerra Santa, ocupam e destroem a cidade, e com ela todas
as obras dos gregos. A ciência dos gregos entra em eclipse. Mas a cultura
helênica era bem forte para sucumbir de um só golpe; daí por diante a
matemática entra num estado latente. Os árabes, na sua arremetida, conquistam a
Índia encontrando lá um outro tipo de cultura matemática: a Álgebra e a
Aritmética.
Os hindus introduzem um símbolo completamente
novo no sistema de numeração até então conhecido: o ZERO. Isto causa uma
verdadeira revolução na "arte de calcular". Dá-se início à propagação
da cultura dos hindus por meio dos árabes. Estes levam à Europa os denominados
"Algarismos arábicos", de invenção dos hindus. Um dos maiores
propagadores da matemática nesse tempo foi, sem dúvida, o árabe Mohamed Ibn
Musa Alchwarizmi, de cujo nome resultou em nossa língua as palavras algarismos
e Algoritmo.
Alchwarizmi propaga a sua obra,
"Aldschebr Walmakabala", que ao pé da letra seria: restauração e
conforto. (É dessa obra que se origina o nome Álgebra). A matemática, que se
achava em estado latente, começa a se despertar. No ano 1202, o matemático
italiano Leonardo de Pisa, cognominado de "Fibonacci" ressuscita a
Matemática na sua obra intitulada "Leber abaci" na qual descreve a
"arte de calcular" (Aritmética e Álgebra). Nesse livro Leonardo
apresenta soluções de equações do 1º, 2º e 3º graus. Nessa época a Álgebra começa
a tomar o seu sapecto formal. Um monge alemão. Jordanus Nemorarius já começa a
utilizar letras para significar um número qualquer, e ademais introduz os
sinais de + (mais) e - (menos) sob a forma das letras p (plus = mais) e m
(minus = menos).
Outro matemático alemão, Michael
Stifel, passa a utilizar os sinais de mais (+) e menos (-), como nós os
utilizamos atualmente. É a álgebra que nasce e se põe em franco
desenvolvimento. Tal desenvolvimento é finalmente consolidado na obra do
matemático francês, François Viète, denominada "Álgebra Speciosa".
Nela os símbolos alfabéticos têm uma significação geral, podendo designar
números, segmentos de retas, entes geométricos etc.
No século XVII, a matemática toma nova forma, destacando-se de
início René Descartes e Pierre Fermat. A grande descoberta de René Descartes
foi sem dúvida a "Geometria Analítica" que, em síntese, consiste nas
aplicações de métodos algébricos à geometria. Pierre Fermat era um advogado que
nas horas de lazer se ocupava com a matemática. Desenvolveu a teoria dos
números primos e resolveu o importante problema do traçado de uma tangente a
uma curva plana qualquer, lançando assim, sementes para o que mais tarde se
iria chamar, em matemática, teoria dos máximos e mínimos. Vemos assim no século
XVII começar a germinar um dos mais importantes ramos da matemática, conhecido
como Análise Matemática. Ainda surgem, nessa época, problemas de Física: o
estudo do movimento de um corpo, já anteriormente estudados por Galileu
Galilei. Tais problemas dão origens a um dos primeiros descendentes da Análise:
o Cálculo Diferencial.
O Cálculo Diferencial aparece pela
primeira vez nas mãos de Isaac Newton (1643-1727), sob o nome de "cálculo
das fluxões", sendo mais tarde redescoberto independentemente pelo
matemático alemão Gottfried Wihelm Leibniz. A Geometria Analítica e o Cálculo
dão um grande impulso à matemática. Seduzidos por essas novas teorias, os
matemáticos dos séculos XVII e XVIII, corajosa e despreocupadamente se lançam a
elaborar novas teorias analíticas. Mas nesse ímpeto, eles se deixaram levar
mais pela intuição do que por uma atitude racional no desenvolvimento da
ciência. Não tardaram as conseqüências de tais procedimentos, começando por
aparecer contradições. Um exemplo clássico disso é o caso das somas infinitas,
como a soma abaixo:
S = 3 - 3 + 3 - 3 + 3...........
Supondo que se tenha um número
infinito de termos. Se agruparmos as parcelas vizinhas teremos:
S = (3 - 3) + (3 - 3) + ...........= 0
+ 0 +.........= 0
Se agruparmos as parcelas vizinhas,
mas a partir da 2ª, não agrupando a primeira:
S = 3 + ( - 3 + 3) + ( - 3 + 3) +
...........= 3 + 0 + 0 + ......... = 3
O que conduz a resultados
contraditórios. Esse "descuido" ao trabalhar com séries infinitas era
bem característico dos matemáticos daquela época, que se acharam então em um
"beco sem saída”. Tais fatos levaram, no ocaso do século XVIII, a uma
atitude crítica de revisão dos fatos fundamentais da matemática. Pode-se
afirmar que tal revisão foi a "pedra angular" da matemática. Essa
revisão se inicia na Análise, com o matemático francês Louis Cauchy (1789 -
1857), professor catedrático na Faculdade de Ciências de Paris. Cauchy realizou
notáveis trabalhos, deixando mais de 500 obras escritas, das quais destacamos
duas na Análise: "Notas sobre o desenvolvimento de funções em séries"
e "Lições sobre aplicação do cálculo à geometria". Paralelamente,
surgem geometrias diferentes da de Euclides, as denominadas Geometrias não
euclidianas.
Por volta de 1900, o método axiomático
e a Geometria sofrem a influência dessa atitude de revisão crítica, levada a
efeito por muitos matemáticos, dentre os quais destacamos D. Hilbert, com sua
obra "Fundamentos da Geometria" ("Grudlagen der Geometrie"
título do original), publicada em 1901. A Álgebra e a Aritmética tomam novos
impulsos. Um problema que preocupava os matemáticos era o da possibilidade ou
não da solução de equações algébricas por meio de fórmulas que aparecessem com
radicais. Já se sabia que em equações do 2º e 3º graus isto era possível; daí
surgiu a seguinte questão: será que as equações do 4º graus em diante admitem
soluções por meio de radicais?
Em trabalhos publicados por volta de
1770, Lagrange (1736 - 1813) e Vandermonde (1735-96) iniciaram estudos
sistemáticos dos métodos de resolução. À medida que as pesquisas se
desenvolviam no sentido de achar tal tipo de resolução, ia se evidenciando que
isso não era possível. No primeiro terço do século XIX, Niels Abel (1802-29) e
Evariste de Galois (1811-32) resolvem o problema, demonstrando que as equações
do quarto e quinto grau em diante não podiam ser resolvidas por radicais. O
trabalho de Galois, somente publicado em 1846, deu origem à chamada
"teoria dos grupos" e à denominada "Álgebra Moderna", dando
também grande impulso à teoria dos números.
Com respeito à teoria dos números não
nos podemos esquecer das obras de R. Dedekind e Gorg Cantor. R. Dedekind define
os números irracionais pela famosa noção de "Corte". Georg Cantor dá
início à chamada Teoria dos conjuntos, e de maneira arrojada aborda a noção de
infinito, revolucionando-a. A partir do século XIX a matemática começa então a
se ramificar em diversas disciplinas, que ficam cada vez mais abstratas.
Atualmente se desenvolvem tais teorias
abstratas, que se subdividem em outras disciplinas. Os entendidos afirmam que
estamos em plena "idade de ouro" da Matemática, e que nestes últimos
cinqüenta anos tem se criado tantas disciplinas, novas matemáticas, como se
haviam criado nos séculos anteriores. Esta arremetida em direção ao
"Abstrato", ainda que não pareça nada prática, tem por finalidade
levar adiante a "Ciência". A história tem mostrado que aquilo que nos
parece pura abstração, pura fantasia matemática, mais tarde se revela como um
verdadeiro celeiro de aplicações práticas.
 DICA 6: Multiplicar um número
por 9:
Nesse caso basta acrescentar um
zero no final do número e subtrair pelo número inicial. Vamos efetuar a
seguinte multiplicação: 44 x 9.
Acrescentando um zero no final do número 44
ficamos com 440.
Então subtraímos desse valor o valor inicial: 440-44 = 396. Portanto 44 x 9 = 396.
Outros exemplos:
27 x 9 = 270-27 = 243. 56 x 9 = 560-56 = 504. 33 x 9 = 330-33 = 297. DICA 7: Multiplicar um número
por 99:
Nesse caso basta acrescentar 2
zeros no final do número e subtrair pelo número inicial. Vamos efetuar a
seguinte multiplicação: 44 x 99.
Acrescentando 2 zeros no final do número 44
ficamos com 4400.
Então subtraímos desse valor o valor inicial: 4400-44 = 4356. Portanto 44 x 99 = 4356.
Outros exemplos:
27 x 99 = 2700-27 = 2673 56 x 99 = 5600-56 = 5544 33 x 99 = 3300-33 = 3267 DICA 8: Multiplicar um número
por 101:
Quando um número de 2 algarismos AB for multiplicado por 101,
o resultado será ABAB. Alguns exemplos:
43 x 101 = 4343
32 x 101 = 3232 14 x 101 = 1414 DICA 9: Multiplicar 2 números (de 2 algarismos) que
possuam o mesmo algarismo das dezenas, e a soma de seus algarismos das
unidades seja 10.
Exemplos de multiplicações que podem ser feitas
com esse método: 42x48, 53x57, 21x29, 35x35, 87x83, 94x96, etc.
Devem ser seguidos os seguintes passos:
1) Multiplicamos o algarismo das dezenas (que é igual nos 2 números) pelo número seguinte a ele; 2) Multiplicamos os algarismos das unidades normalmente; 3) Juntamos as duas partes.
Vamos efetuar a seguinte
multiplicação: 53 x 57:
Passo 1: 5x6 = 30 Passo 2: 3x7 = 21 Passo 3: Juntamos os dois números: 3021. Portanto 53 x 57 = 3021. Barbada!
Outro exemplo: 94 x 96:
Passo 1: 9x10 = 90 Passo 2: 4x6 = 24 Passo 3: Juntamos os dois números: 9024. Portanto 94 x 96 = 9024. Barbada! DICA 10: Soma dos n primeiros números
naturais ímpares:
A soma dos n
primeiros números naturais ímpares é igual a n2.
Exemplos:
1) Soma dos 5
primeiros números naturais ímpares (1+3+5+7+9):
A soma é igual a 52 = 25.
2) Soma dos 15
primeiros números naturais ímpares:
A soma é igual a 152 = 225. DICA 11: Multiplicar um número
por 15:
Some o número com a sua metade, e multiplique o
resultado por 10.
Exemplos: 14×15 =(14+7)×10=210 10,4×15=(10,4+5,2)×10=15,6×10=156 |
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